Интегральное уравнение состояния газовой среды в помещении. Интегральная модель пожара

Александренко М.В. 1 , Акулова М.В. 2 , Ибрагимов А.М. 3

1 Студент,

Ивановский государственный политехнический университет

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЖАРА

Аннотация

В статье рассмотрено – виды математических моделей пожара и их область применения. Математическое моделирование позволяет спрогнозировать динамику пожара в помещениях зданий различного назначения, а следовательно позволяет вывести исследование пожарной опасности объектов на качественно новый этап развития, обеспечить переход от сравнительных методов к прогнозным, учитывающим условия эксплуатации объекта.

Ключевые слова: математическая модель, пожар.

Alexandrenko M.V. 1 , Akulova M.V. 2 , Ibragimov A.M. 3

Ivanovo State Polytechnic University

MATHEMATICAL MODELLING OF THE FIRE

Abstract

The article considers types of mathematical models of the fire and their scope. Mathematical modeling allows to predict dynamics of the fire in rooms of buildings of different function and consequently allows to bring research of fire danger of objects to qualitatively new stage of development, to provide transition from comparative methods to expected, considering object service conditions.

Keywords : mathematical model, fire.

Моделирование представляет собой метод исследования свойств одного объекта посредством изучения свойств другого объекта, более удобного для исследования и находящегося в определенном соответствии с первым объектом. То есть при моделировании экспериментируют не с самим объектом, а с его заменителем, который называют моделью .

Моделирование пожара в помещениях основано на представлении пожара как физического явления передачи тепла и массы в соответствующих условиях его развития. Условия развития пожара характеризуются видом пожарной нагрузки и конструктивно-планировочными характеристиками здания (помещения).

По типу математического аппарата различают следующие модели: детерминированные; вероятностные; смешанные (детерминированные – вероятностные); имитационные.

Наиболее эффективным инструментом прогноза и изучения пожаров являются детерминированные математические модели.

Наряду с детерминированным моделированием следует отметить и вероятностные оценки распространения пожара на основе статистической обработки данных по реальным пожарам.

Приведём краткую характеристику каждой из моделей.

1. Детерминированные математические модели

Все многообразие детерминированных математических моделей развития пожара в помещениях (внутренние пожары) можно разделить на три группы:

–интегральные (модели первого поколения);

–зонные (модели второго поколения);

–полевые (CFD) (модели третьего поколения).

1.1. Интегральные математические модели

Интегральный (однозонный) метод является наиболее простым методом моделирования пожаров. Суть интегрального метода заключается в том, что состояние газовой среды оценивается через осредненные по всему объему помещения термодинамические параметры. Соответственно температура ограждающих конструкций и другие подобные параметры оцениваются как осредненные по поверхности. На основе интегрального метода были разработаны, в частности, рекомендации .

Область применения интегрального метода, в которой предсказанные моделью параметры пожара можно интерпретировать как реальные, практически ограничивается объемными пожарами, когда из-за интенсивного перемешивания газовой среды локальные значения параметров в любой точке близки к среднеобъемным. За пределами возможностей интегрального метода оказывается моделирование пожаров, не достигших стадии объемного горения, и особенно моделирование процессов, определяющих пожарную опасность при локальном пожаре. Наконец, в ряде случаев даже при объемном пожаре распределением локальных значений параметров пренебрегать нельзя.

1.2. Зонные математические модели

Развитие пожара можно описать достаточно детально с помощью зонных (зональных) моделей, основанных на предположении о формировании в помещении двух слоев: верхнего слоя продуктов горения (задымленная зона) и нижнего слоя невозмущенного воздуха (свободная зона). Таким образом, состояние газовой среды в зональных моделях оценивается через осредненные термодинамические параметры не одной, а нескольких зон, причем межзонные границы обычно считаются подвижными.

Однако при создании зонных моделей необходимо делать большое количество упрощений и допущений, основанных на априорных предположениях о структуре потока. Такая методика не применима в тех случаях, когда отсутствует полученная из пожарных экспериментов информация об этой структуре и, следовательно, нет основы для зонного моделирования. Кроме того, часто требуется более подробная информация о пожаре, чем осредненные по слою (зоне) значения параметров.

1.3. Полевые математические модели

Полевые модели, обозначаемые в зарубежной литературе аббревиатурой CFD (computational fluid dynamics), являются более мощным и универсальным инструментом, чем зональные; они основываются на совершенно ином принципе. Вместо одной или нескольких больших зон в полевых моделях выделяется большое количество (обычно тысячи или десятки тысяч) маленьких контрольных объемов, никак не связанных с предполагаемой структурой потока. Для каждого из этих объемов с помощью численных методов решается система уравнений в частных производных, выражающих принципы локального сохранения массы, импульса, энергии и масс компонентов. Таким образом, динамика развития процессов определяется не априорными предположениями, а исключительно результатами расчета.

Естественно, что такие модели, по сравнению с интегральными и зональными, требуют значительно больших вычислительных ресурсов. Однако в последние двадцать лет, в связи с быстрым развитием компьютерной техники, полевые модели из чисто академической концепции превратились в важный практический инструмент.

В настоящее время создан целый ряд компьютерных программ, реализующих полевой метод моделирования, которые достаточно точно описывают поля скоростей, температур и концентраций на начальной стадии пожара.

1. Вероятностные математические модели

Вероятностная модель – модель, которая в отличие от детерминированной модели содержит случайные элементы. Таким образом, при задании на входе модели некоторой совокупности значений, на ее выходе могут получаться различающиеся между собой результаты в зависимости от действия случайного фактора.

С помощью вероятностного моделирования и программ вероятностного анализа безопасности возможно подсчитать вероятность риска пожаров с учетом человеческого фактора, определять приоритетные направления уменьшения величины риска пожаров. Представляется возможным учесть все важные причины пожаров и факторы, которые оказывают содействие распространению или усложняют тушение пожара, и, путем создания и изучения модели, выявлять дефициты пожарной безопасности по аналогии с моделированием безопасности сложных систем.

1. Смешанные (детерминированные – вероятностные) математические модели

В последнее время в безопасности жизнедеятельности все шире стали применять детерминировано-вероятностные модели катастроф, а также комплексный физико-математический метод исследования катастроф с использованием современной компьютерной техники и оригинальных лабораторных установок. Детерминированно-вероятностная модель прогноза пожаров учитывает сценарий совместного появления антропогенной нагрузки и грозовой активности, метеорологические условия.

1. Имитационные математические модели

Имитационное моделирование представляет интерес в исследовании сложных систем при априорной неопределенности. В модели может быть задано вероятное протекание пожара, вероятные законы распределения и распространения тепловых потоков, имитируется процесс работы конструкций.

Моделирование пожара в помещении и оценка его воздействия на строительные конструкции состоит из следующих основных этапов:

Анализ конструктивно-планировочных характеристик помещения;

Определение вида, количества и размещения пожарной нагрузки;

Определение вида возможного пожара и его базовых параметров;

Выбор метода расчета и проведение расчета, оценка вероятностных характеристик пожара;

Анализ огнестойкости конструкций, определение эквивалентной продолжительности стандартного испытания.

Заключение

Математическое моделирование позволяет спрогнозировать динамику пожара в помещениях зданий различного назначения, а следовательно позволяет вывести исследование пожарной опасности объектов на качественно новый этап развития, обеспечить переход от сравнительных методов к прогнозным, учитывающим условия эксплуатации объекта. Это можно считать ещё одним шагом на пути решения проблемы обеспечения пожарной безопасности здания или сооружения в целом, и строительных конструкций в частности.

Литература

1. Клуб студентов «Технарь». Конспекты по математическим моделям [Электронный курс] URL: http://www.c-stud.ru (дата обращения 10.03.2015)
2. Расчет необходимого времени эвакуации людей из помещений при пожаре: Рекомендации. – М.: ВНИИПО МВД СССР, 1989. – 22 с.
3. Методические рекомендации «Применение полевого метода математического моделирования пожара в помещениях.
4. ГОСТ 12.1.004-91* Пожарная безопасность. Общие требования.
5. СНиП 21-01-97* Пожарная безопасность зданий и сооружений.

References

1. Club of students “Technician”. Abstracts on mathematical models of URL: http://www.c-stud.ru (date of the address 10.03.2015)
2. Calculation of necessary time of evacuation of people from rooms at the fire: Recommendations. – M.: VNIIPO MVD USSR, 1989. – 22 s.
3. Methodical recommendations “Application of a field method of mathematical modeling of the fire in rooms.
4. GOST 12.1.004-91 * Fire safety. General requirements.
5. SNiP 21-01-97 * Fire safety of buildings and constructions.

Интегральная математическая модель пожара в помещении разработана на основе уравнений пожара, изложенных в работах . Эти уравнения вытекают из основных законов физики - закона сохранения вещества и первого закона термодинамики для открытой системы, и включаетв себя:

где V - объем помещения, м 3 ; m - среднеобъемная плотность газовой среды кг/м 3 ; - время, с; G в и G г - массовые расходы поступающего в помещение воздуха и уходящих из помещения газов, кг/с; - массовая скорость выгорания горючей нагрузки, кг/с.

уравнение баланса кислорода

где х 1 - среднеобъемная массовая концентрация кислорода в помещении; х 1в - концентрация кислорода в уходящих газах от среднеобъемного значения х 1 , n 1 = x 1г /х 1 ; L 1 - стехиометрическое соотношение «кислород - горючая нагрузка».

где х i - среднеобъемная концентрация i-го продукта горения; L i - удельное массовое выделение i-го продукта; n i - коэффициент, учитывающий отличие концентрации i-го продукта в уходящих газах x iг от среднеобъемного значения x i , n i = x iг /x i ;

уравнения баланса энергии

где Р m - среднеобъемное давление в помещении, Па, К m , С рm , Т m - среднеобъемные значения показателя адиабаты, изобарной теплоемкости и температуры в помещении; Q п н - теплота сгорания горючей нагрузки, Дж/кг; С рв; Т в - изобарная теплоемкость и температура поступающего воздуха; I п - энтальпия продуктов газификации горючего материала, Дж/кг; - коэффициент, учитывающий отличие среднеобъемной изобарной температуры Т m и среднеобъемной изобарной теплоемкости С рm от температуры Т г и изобарной теплоемкости С рг уходящих газов, = ; - коэффициент полноты сгорания; Q c - тепловой поток в ограждение, Вт.

Среднеобъемная температура Т m связана со среднеобъемным давлением Р m и плотностью m уравнением состояния

Р m = m R m Т m . (2.5)

Уравнения пожара при разработке программы были модифицированы с целью учета работы приточно-вытяжной системы механической вентиляции, а так же работы системы объемного тушения пожара инертным газом. При этом система уравнений принимает следующий вид:

уравнение материального баланса

где G пр и G выт - массовые расходы, создаваемые приточно-вытяжной вентиляции, кг/с; G ов - массовая подача огнетушащего вещества кг/с

Для учета влияния температурного режима на работу вентиляторов расхода G пр и G выт представлены в виде:

G пр = в W пр; (2.7)

G выт = m W выт, (2.8)

где в - плотность воздуха, кг/м 3 W пр и W выт - объемные производительности приточной и вытяжной подсистем, принимаемые постоянными.

Расход подачи ОВ так же принимается постоянным в интервале от момента включения системы пожаротушения до окончания запаса ОВ и равным нулю вне пределов этого интервала.

Уравнению (2.1) соответствует начальное условие:

где Р в - атмосферное давления на уровне половины высоты помещения, Па, R в - газовая постоянная воздуха, Дж/кгК; Т m (0) - начальная температура в помещении;

уравнение баланса энергии

где С ров и Т ов - изобарная теплоемкость и температура подаваемая через проемы, Q 0 - источниковый член, учитывающий работу систем отопления, в случае неравенства Т m (0) и Т в

Исходя из многочисленного экспериментального материала, левая часть уравнения (2.2) принимается равной нулю, а величина С рm - постоянной. Значение Q 0 вычисляется в нулевой момент времени и далее считается неизменным. Поскольку I п

Т с =Т m (0)+0,2[Т m -T m (0)]+0.00065[Т m -Т m (0)] 2

где m - среднеобъемная степень черноты среды в помещении; F г - суммарная площадь проемов, м 2 ; F c и T c - площадь конструкций и средняя температура их внутренней поверхности;

уравнение баланса кислорода

Начальные условия для этого уравнения является следующие

Х 1 (0) = х 1В = 0,23

уравнение баланса продуктов горения

Поскольку кинетика химических реакций не моделируется, а все L i полагаются постоянными, то, вводя новую переменную Xi=xi/Li получим в окончательном виде:

Начальным условием для этого уравнения является выражение

Из (2.4) следует, что концентрации всех продуктов горения подобны во времени и могут быть описаны одним общим уравнением:

Уравнение баланса количества дыма и оптической концентрации дыма получено:

где m - среднеобъемное значение оптического количества дыма в помещении; D - дымообразующая способность горючего материала; К с - коэффициент осаждения частиц дыма на поверхность конструкций. Этому уравнению соответствует следующее начальное условие m (0)=0.

Принято различать два основных режима пожара в помещении:

• - пожар, регулируемый горючей нагрузкой (ПРН), когда кислорода в помещении достаточно и скорость выгорания определяется скоростью газификации горючего материала;
• - пожар, регулируемый вентиляцией (ПРВ), когда кислорода в помещении очень мало и скорость выгорания определяется скоростью притока воздуха извне.

Подробная классификация достаточно условна. Режим пожара в помещении будет аналогичен режиму пожара на открытом воздухе лишь в случае х 1 =х 1В, т.е. только в нулевой момент времени. Соответственно, для реализации ПРВ требуется положить х 1 =0, т.е. весь поступающий в помещение кислород полностью расходуется на горение. В реальности кислородный режим пожара в помещении практически всегда является некоторым промежуточным режимом между ПРН и ПРВ.

Кислородный режим пожара численно характеризуется величиной безразмерного параметра к, значения которого изменяются от нуля до единицы, причем к=0 соответствует ПРВ, а к=1 - ПРН. Величина к является функцией концентрации кислорода в помещении: к=к(х 1). В соответствии с изложенным ранее, эта функция имеет минимум при х 1 =0 (равный нулю) и максимум при х 1 =х 1в, (равный единице). Кроме того, график функции к(х 1) должен иметь точку перегиба, причем единственную, которая физически соответствует переходу от преобладания одного режима пожара к преобладанию другого.

Всем перечисленным требованиям отвечает функция вида

где А, В, С - положительные коэффициенты, определяемые из изложенных выше граничных условий и экспериментальных данных.

где 0 и уд.0 - полнота сгорания и удельная скорость выгорания на открытом воздухе. Величина 0 может быть найдена по формуле

значение уд.0 является свойством, в основном, самой горючей нагрузки.

Легко заметить, что выражение (2.6) точно отражает физический смысл двух рассматриваемых режимов пожара и является интерполяционной формулой для промежуточных реальных режимов. Если использовать аналогичную формулу для

то (2.7) и (2.8) образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными, из решения которых определяются и уд. .

Рассмотренный подход позволяет учесть в расчете влияние концентрации кислорода в помещении на процесс горения. Безусловно этот подход является в достаточной приближенным и вынужденным, поскольку более точное моделирование процесса горения, особенно в рамках интегральной модели наталкивается на ряд принципиальных трудностей. Как показали пробные расчеты и их сравнение с данными экспериментов, изложенный метод дает удовлетворительную для инженерной практики точность и может быть использован в случаях, когда более строгий подход не является необходимым.

Для расчета естественного газообмена в получены соотношения для случая, когда g m g в. Ниже эти соотношения приведены в формализованном виде:

где в i - ширина i-того проема; Y hi и Y bi - высота его нижнего и верхнего срезов.

Суммирование производится по всем открытым проемам, а высота нейтральной плоскости рассчитывается по формуле

где h - половина высоты помещения. Формальный параметр Z i определяется следующим образом:

Если горючим веществом является жидкость, площадь горения полагается неизменной и равной площади ее зеркала. В случае твердого материала задаются его линейные размеры и считается, что горение начинается в центре заданного прямоугольника. Если обозначить V л - мгновенное значение линейной скорости распространения пламени, то радиус зоны горения r г определяет уравнение причем r г (0)=0.

Если величина r г не превышает половину минимального размера, то из площади круга вычитается площадь соответствующих сегментов. Момент, когда значение r г становится равным полудиагонали заданного прямоугольника, расположение горючей нагрузки, считается моментом полного охвата пламенем всей горючей нагрузки и далее площадь горения считается неизменной. Так как F гор и уд известны, то полная скорость газификации рассчитывается, как их производная. В случае нестационарного горения жидкости полученное назначение умножается на величину, учитывающую эту нестационарность .

при < cт, где cт - время стабилизации горения.

Для расчета среднеобъемной температуры используются уравнения состояния

Т m =Р m /g m R m (2.19)

Степень черноты задымленной среды в помещении рассчитывается по известной формуле:

где l - средняя длина пути луча, определяется соотношением

где - эмпирический коэффициент для пересчета оптического диапазона в диапазон инфракрасных волн.

Для численной реализации модели использован метод Рунге-Кутта - Фельберга 4-5 порядка точности с переменным шагом. В качестве основы взята подпрограмма решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, доработанная с целью улучшения эксплуатационных характеристик.

Разработанная на кафедре инженерной теплофизики и гидравлики учебная компьютерная программа INTMODEL реализует описанную выше математическую модель и предназначена для расчета динамики пожара жидких и твердых горючих веществ и материалов в помещении имеющем от 1 до 9 проемов вертикальных ограждающих конструкций.

От известных аналогов программа отличается тем, что позволяет учитывать вскрытие проемов, работу систем механической вентиляции, и объемного тушения пожара инертным газом, а так же учитывает кислородный баланс пожара, позволяет рассчитывать концентрацию окиси и двуокиси углерода, задымленность помещения и дальность видимости в нем.

V - свободный объем помещения, ;

а - коэффициент отражения предметов на путях эвакуации;

Е - начальная освещенность, лк;

Предельная дальность видимости в дыму, м;

Дымообразующая способность горящего материала, ;

L - удельный выход токсичных газов при сгорании 1 кг материала, кг/кг;

X - предельно допустимое содержание токсичного газа в помещении, (; ; );

Удельный расход кислорода, кг/кг.

Если под знаком логарифма получается отрицательное число, то данный ОФП не представляет опасности.

Параметр z вычисляют по формуле:

Высота площадки, на которой находятся люди, над полом помещения, м;

Разность высот пола, равная нулю при горизонтальном его расположении, м.

Следует иметь в виду, что наибольшей опасности при пожаре подвергаются люди, находящиеся на более высокой отметке. Поэтому, например, при определении необходимого времени эвакуации людей из партера зрительного зала с наклонным полом значение h следует находить, ориентируясь на наиболее высоко расположенные ряды кресел. Параметры А и n вычисляют так:

для случая горения жидкости с установившейся скоростью:

,

Удельная массовая скорость выгорания жидкости, ;

для случая горения жидкости с неустановившейся скоростью:

для кругового распространения пожара:

,

V - линейная скорость распространения пламени, м/с;

для вертикальной или горизонтальной поверхности горения в виде прямоугольника, одна из сторон которого увеличивается в двух направлениях за счет распространения пламени (например, распространение огня в горизонтальном направлении по занавесу после охвата его пламенем по всей высоте):

,

b - перпендикулярный к направлению движения пламени размер зоны горения, м.

При отсутствии специальных требований значения а и Е принимаются равными 0,3 и 50 лк соответственно, а значение м.

IV. Математическая двухзонная модель пожара в здании

При решении задач с использованием двухзонной модели пожар в здании характеризуется усредненными по массе и объему значениями параметров задымленной зоны:

Т - температура среды в задымленной зоне, К;

Оптическая плотность дыма, Нп/м;

Массовая концентрация i-того токсичного продукта горения в задымленной зоне, кг/кг;

Массовая концентрация кислорода, кг/кг;

Z - высота нижней границы слоя дыма, м.

В свою очередь перечисленные параметры выражаются через основные интегральные параметры задымленной зоны с помощью следующих формул:

, (П6.26)

, (П6.27)

, (П6.29)

где m, - общая масса дыма и соответственно i-го токсичного продукта горения в задымленной зоне, кг;

Масса кислорода в задымленной зоне, кг;

Энтальпия продуктов горения в задымленной зоне, кДж;

S - оптическое количество дыма, ;

Плотность дыма при температуре Т, ;

Объем задымленной зоны, ;

Н, А - высота и площадь помещения, м;

Удельная теплоемкость дыма, .

Динамика основных интегральных параметров задымленной зоны определяется интегрированием системы следующих балансовых уравнений:

общей массы компонентов задымленной зоны с учетом дыма, вносимого в зону конвективной колонкой и дыма удаляемого через проемы в соседние помещения:

, (П6.30)

где t - текущее время, с;

Массовый расход дыма соответственно через конвективную колонку и открытые проемы в помещении, кг/с;

энтальпия компонентов задымленной зоны с учетом тепла, вносимого в зону конвективной колонкой, теплоотдачи в конструкции и уноса дыма в проемы:

, (П6.31)

где , , - тепловая мощность, соответственно, вносимая в задымленную зону конвективной колонкой, удаляемая с дымом через открытые проемы и теряемая в конструкции, кВт;

Интегральная математическая модель пожара представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих изменение среднеобъёмных параметров состояния газовой среды в помещении в процессе развития пожара. Они следуют из фундаментальных законов природы? первого закона термодинамики для открытой термодинамической системы и закона сохранения массы. Впервые интегральная модель была сформулирована профессором Ю.А. Кошмаровым в 1976 году.

Более подробно интегральная модель пожара описана в приложении 6 к приказу МЧС России от 30.06.2009 №382.

Ограничения интегральной модели

Интегральная модель применима в случае, когда состояние газовой среды с достаточной степенью достоверности можно считать одинаковым по всему объему помещения. Такое допущение справедливо, если модель содержит:

достаточно большой источник пожара;

относительно небольшой объем помещений;

хороший газообмен внутри помещений, обеспечивающий равномерное перемешивание продуктов горения.

Таким образом, интегральную модель можно применять при следующих условиях:

для зданий, содержащих развитую систему помещений малого объема простой геометрической конфигурации;

для помещений, где характерный размер очага пожара соизмерим с характерными размерами помещения и размеры помещения соизмеримы между собой (линейные размеры помещения отличаются не более чем в 5 раз);

для предварительных расчетов с целью выявления наиболее опасного сценария пожара.

Если один из линейных размеров помещения более чем в пять раз превышает хотя бы один из двух других линейных размеров, необходимо это помещение делить на участки, размеры которых соизмеримы между собой, и рассматривать участки как отдельные помещения, сообщающиеся проемами, площадь которых равна площади сечения на границе участков. Использование аналогичной процедуры в случае, когда два линейных размера превышают третий более чем в 5 раз, не допускается.

Зонная модель позволяет получить информацию о размерах характерных зон, возникающих при пожаре в помещениях и средних параметров состояния среды в этих зонах.

Зонные математические модели в основном используются для исследования динамики опасных факторов пожара в начальной стадии пожара. В начальной стадии распределение параметров состояния газовой среды по объему помещения характеризуется большой неоднородностью (неравномерностью). В этот период (отрезок) времени пространство внутри помещения можно условно поделить на ряд характерных зон с существенно различающимися температурами и составами газовых сред. Границы этих зон по мере развития пожара не остаются неизменными и неподвижными. В течение времени геометрическая конфигурация зон меняется и сглаживается контрастное различие параметров состояния газа в этих зонах. В принципе, пространство внутри помещения можно разбить на любое число зон. В этой лекции рассмотрим простейшую зонную модель пожара, которая применима при условиях, когда размеры очага горения значительно меньше размеров помещения. Процесс развития пожара можно представить следующим образом. После воспламенения горючих веществ образующиеся газообразные продукты устремляются вверх, образуя над очагом горения конвективную струю. Достигнув потолка помещения, эта струя растекается, образуя припотолочный слой задымленного газа. В течение времени толщина этого слоя увеличивается. 1. Постановка задачи о зонном моделировании. В соответствии с вышесказанным в объеме помещения можно выделить три характерные зоны: конвективную колонку над очагом пожара, припотолочный слой нагретого газа и воздушную зону с практически неизменными параметрами состояния, равными своим начальным значениям. Математическая модель пожара, базирующаяся на разбиении пространства на характерные области, получила название трехзонной модели.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением первой фазы начальной стадии пожара. Под понятием "первая фаза начальной стадии пожара" подразумевается отрезок времени, в течение которого нижняя граница припотолочного слоя, непрерывно опускаясь, достигает верхнего края дверного проема. При первой фазе начальной стадии пожара нагретые газы лишь накапливаются в припотолочной зоне. При второй фазе нижняя граница II зоны расположена ниже верхнего края дверного проема. С наступлением второй фазы начинается процесс истечения нагретых газов из помещения через дверной проем. До наступления этой фазы имеет место лишь вытеснение (через дверной проем) холодного воздуха из III зоны.

Полевая (дифференциальная) модель позволяет рассчитать для любого момента развития пожара значения всех локальных параметров состояния во всех точках пространства внутри помещения.

Полевая дифференциальная модель. Интегральная модель пожара позволяет получить информацию о средних значениях параметров среды в помещении для любого момента развития пожара. Зонная модель позволяет получить представление о размерах характерных зон, возникающих при пожаре в помещении, а также о средних параметрах состояния среды внутри этих зон. И наконец, полевая дифференциальная модель позволяет рассчитать для любого момента развития пожара значение всех локальных параметров состояния в любой точке пространства помещения. Все три модели в математическом отношении характеризуются различным уровнем сложности. Наиболее просто реализуемой является интегральная модель, она же является и наименее точной. Наиболее перспективной, с точки зрения, практического применения является полевая модель горения.

Полевые модели основываются на системе дифференциальных уравнений в частных производных. Результатами решения данной системы уравнений являются поля распределения температур, скоростей, концентраций компонентов газовой среды в каждый момент времени. Программа FDS (Fire Dynamics Simulator) реализует вычислительную гидродинамическую модель (CFD) тепломассопереноса при горении. FDS решает уравнения Навье-Стокса для низкоскоростных температурно-зависимых потоков. Базовым алгоритмом является определенная схема использования метода предиктора-корректора второго порядка точности по координатам и времени.

Турбулентность выполняется с помощью модели Смагоринского «Масштабное моделирование вихрей». Главным образом нас интересует начальный момент времени пожара, когда срабатывание автоматической пожарной сигнализации еще может привести к выполнению системой своих целевых функций (эвакуация людей, эффективное пожаротушение). Время это относительно мало, и в этот промежуток времени пожар имеет некоторые особенности, позволяющие еще более упростить математическую модель. Основной особенностью данного процесса является отсутствие газообмена помещения с окружающей средой.

Поступление воздуха в помещение из окружающей среды отсутствует, и динамика возгорания диктуется исключительно пожарной нагрузкой. Поэтому полевая модель пожара, рассматриваемая в данной работе, носит ограниченный характер по времени и справедлива исключительно в начальный момент развития пожара, пока отсутствует поступление воздуха в помещение,

Перечисленные модели отличаются друг от друга объемом той информации, которую они могут дать о состоянии газовой среды в помещении и взаимодействующих с нею конструкций на разных этапах пожара.

В математическом отношении три вышеуказанных вида моделей пожара характеризуются разным уровнем сложности. Наиболее сложной в математическом отношении является полевая модель.

опасный пожар прогнозирование моделирование

Уравнения пожара описывают в самом общем виде изменение среднеобъемных параметров состояния газовой среды в помещении в течение времени (в процессе развития пожара). Эти уравнения были сформулированы в 1976г. проф. Ю.А. Кошмаровым (статья "Развитие пожара в помещении" в научном сборнике ВНИИПО МВД СССР "Горение и проблемы тушения пожаров". М.: ВНИИПО МВД СССР, 1977).

Уравнения пожара являются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Они вытекают, как и большинство уравнений математической физики, из фундаментальных законов природы - первого закона термодинамики для открытой термодинамической системы и закона сохранения массы. Подробный вывод этих уравнений приведен в учебнике Ю.А. Кошмарова и М.П. Башкирцева "Термодинамика и теплопередача в пожарном деле" (М., ВИПТШ МВД СССР, 1987). Ограничимся здесь кратким изложением рассуждений, используемых при выводе уравнений пожара.

Первое уравнение - уравнение материального баланса пожара в помещении - вытекает из закона сохранения массы. Применительно к газовой среде, заполняющей помещение, этот закон можно сформулировать так: изменение массы газовой среды в помещении за единицу времени равно алгебраической сумме потоков массы через границы рассматриваемой термодинамической системы. Под границей системы здесь подразумевается воображаемая контрольная поверхность, ограничивающая пространство, внутри которого заключена рассматриваемая газовая среда. На рис. 1.1 эта поверхность условно показана пунктирной линией. Часть этой поверхности совпадает с поверхностью ограждений (стены, пол, потолок). Там, где находятся проемы, эта поверхность является воображаемой. Объем пространства, заключенный внутри этой поверхности, называется свободным объемом помещения и обозначается буквой V. Введем следующие обозначения:

а) G B - расход поступающего воздуха из окружающей атмосферы в помещение, который имеет место в рассматриваемый момент времени процесса развития пожара, кг∙с -1 ;

б) G Г - расход газов, покидающих помещение через проемы в рассматриваемый момент времени, кг∙с -1 ;

в) ψ - скорость выгорания (скорость газификации) горючего материала в рассматриваемый момент времени, кг∙с -1 ;

г) ρ m V - масса газовой среды, заполняющей помещение в рассматриваемый момент времени, кг.

За малый промежуток времени, равный dx , будет иметь место малое изменение массы газовой среды. В то же время можно считать, что значения G Г , G B и ψ в течение этого малого промежутка времени остаются практически неизменными. С учетом вышесказанного уравнение материального баланса для газовой среды в помещении записывается следующим образом:

где левая часть уравнения есть изменение массы газовой среды за единицу времени в интервале, равном dτ . Правая часть есть алгебраическая сумма потоков массы.

Уравнение (2.24) называется уравнением материального баланса пожара.

Аналогичные рассуждения позволяют получить дифференциальные уравнения баланса массы кислорода, баланса продуктов горения и баланса оптического количества дыма. Уравнение баланса массы кислорода:

Уравнение баланса токсичного продукта горения:

Уравнение баланса оптического количества дыма:

В этих уравнениях использованы следующие обозначения: ρ 1 , - среднеобъемная парциальная плотность кислорода, кг·м -3 ; ρ 2 - среднеобъемная парциальная плотность токсичного продукта горения, кг·м -3 ; μ м - объемная оптическая концентрация дыма, Нп·м -1 .

В правой части уравнения (2.25) - уравнения баланса массы кислорода - использованы, кроме ранее указанных, следующие обозначения: х 1в - массовая доля кислорода в поступающем воздухе; средняя массовая доля кислорода в помещении; L 1 - стехиометрический коэффициент для кислорода (количество кислорода, необходимое для сгорания единицы массы горючего материала), кг∙кг -1 ; η - коэффициент полноты сгорания; n 3 , - коэффициент, учитывающий отличие концентрации кислорода в уходящих газах от среднеобъемной концентрации кислорода.

В правой части уравнения (2.26) - уравнения баланса токсичного продукта горения - использованы, кроме ранее указанных, следующие обозначения: L 2 - стехиометрический коэффициент для продукта горения (количество продукта горения, образующегося при сгорании единицы массы горючего материала), кг∙кг -1 ; средняя массовая доля токсичного газа в помещении; п 2 - коэффициент, учитывающий отличие концентрации токсичного газа в уходящих газах от среднеобъемной концентрации этого газа.

В правой части уравнения (1.36) - уравнения баланса оптического количества дыма - использованы, кроме ранее указанных, следующие обозначения: n 3 - коэффициент, учитывающий отличие оптической концентрации дыма в уходящих газах от среднеобъемного значения оптической концентрации дыма; F w - площадь поверхности ограждений (потолка, пола, стен), м 2 ; к с - коэффициент седиментации частиц дыма на поверхностях ограждающих конструкций, Нп·с -1 . Коэффициент седиментации по физическому смыслу есть скорость осаждения частиц дыма.

На основе первого закона термодинамики выводится уравнение энергии пожара. Рассматриваемая термодинамическая система, т.е. газовая среда внутри контрольной поверхности, характеризуется тем, что она не совершает работы расширения. Кинетическая энергия видимого движения газовой среды в помещении пренебрежимо мала по сравнению с ее внутренней энергией. Потоки массы через некоторые участки контрольной поверхности (проемы) характеризуются тем, что в них удельная кинетическая энергия газа пренебрежимо мала по сравнению с удельной энтальпией.

С учетом всего сказанного получается следующее уравнение энергии пожара:

Левая часть этого уравнения есть скорость изменения внутренней тепловой энергии газовой среды в помещении за единицу времени в рассматриваемый малый промежуток времени dτ, т.е.

В правой части уравнения (2.28) первый член представляет собой количество тепла, поступающего за единицу времени в газовую среду в результате горения (скорость тепловыделения). Второй член есть поток энергии в помещение, поступающий вместе с продуктами газификации (пиролиз, испарение) горючего материала. Здесь величина i r - энтальпия этих продуктов. Третий член представляет собой сумму внутренней тепловой энергии поступающего за единицу времени воздуха и работы проталкивания, которую совершает внешняя атмосфера. Четвертый член есть сумма внутренней тепловой энергии, которую уносят за единицу времени уходящие газы, и работы выталкивания, которую совершает рассматриваемая термодинамическая система. Пятый член представляет собой тепловой поток, поглощаемый ограничивающими конструкциями и излучаемый через проемы.

Представленные выше пять дифференциальных уравнений содержат шесть неизвестных функций – p m (τ), p m (τ), Т m (τ), р 1 (τ), р 2 (τ) и m m (τ) . Эту систему уравнений дополняет алгебраическое уравнение - усредненное уравнение состояния (2.19).

Начальные значения для этих функций задаются условиями, которые имеют место в помещении перед началом пожара, т.е.

Представленная здесь система уравнений описывает свободное развитие пожара. Развитие пожара называют свободным, если не осуществляется тушение, т.е. если помещение не подаются огнетушащие вещества. Эффекты, обусловленные подачей огнетушащих веществ в объем помещения, можно учесть путем введения в дифференциальные уравнения дополнительных членов. Например, при тушении инертными газами (аргон, азот, диоксид углерода) уравнение материального баланса пожара записывается следующим образом:

где G o в - массовый расход подачи огнетушащего вещества, кг∙с -1 . Соответствующим образом изменяются в этом случае и остальные дифференциальные уравнения пожара.

Как уже говорилось, в уравнениях пожара искомыми (неизвестными) функциями являются среднеобъемные параметры газовой среды, а независимой переменной является время. Кроме этих переменных величин, уравнения содержат целый ряд других физических величин, которые можно разделить на две группы. К первой группе относятся величины, заданные условиями однозначности, которые представляют собой сведения о размерах помещения (объем V и поверхность ограждений F w) и свойствах горючего материала (теплота сгорания Q р н, стехиометрические коэффициенты L 1 , L 2 , дымообразующая способность D, энтальпия продуктов горения i n . Ко второй группе относятся те величины, которые зависят, помимо всего прочего, от параметров состояния среды в помещении. К этим величинам относятся массовые расходы поступающего через проемы воздуха G B и уходящих через проемы газов G Г , тепловой поток, поглощаемый ограждающими конструкциями и излучаемый через проемы Q w , коэффициент полноты сгорания η, скорость тепловыделения ηQ p н ψ. Для вычисления значений физических величин, относящихся ко второй группе, необходимо располагать дополнительными уравнениями.

Конкретный вид дополнительных уравнений установлен путем привлечения сведений из теории конвективного и лучистого теплообмена, теории газообмена помещения с окружающей атмосферой через проемы из-за различия плотностей наружного воздуха и газовой среды внутри помещения, теории горения.

В заключение необходимо сделать некоторые замечания по поводу общих положений, касающихся сущности описания пожара на уровне осредненных параметров состояния.

В интегральной математической модели мы оперируем с интегральными характеристиками термодинамической системы. Этот подход не требует каких-либо допущений и оговорок о том, как распределены локальные значения термодинамических параметров состояния по объему помещения. Здесь не уместны оговорки такого, например, типа: "предположим, что температурное поле является однородным", или часто используемое выражение о "размазанности" того или иного параметра состояния газовой среды.

Естественным является вопрос о том, как определить значение того или иного термодинамического параметра состояния в заданной точке объема помещения, если будет известно среднеобъемное значение. К этому вопросу мы вернемся в параграфах, посвященных интегральной математической модели пожара.

Здесь лишь отметим, что процесс развития пожара в помещении можно расчленить на ряд характерных временных этапов. Каждому этапу присущи характерные законы распределения локальных термодинамических параметров состояния внутри помещения. Это обстоятельство используется для ответа на поставленный здесь вопрос.